Úkol 10

1. \(f(x,y)=\frac{\ln (1+x^4+y^4)}{\sqrt {x^2+y^2}}\), určete všechny parciální derivace 2. řádu.
2. Nechť je funkce \(y(x)\) definována implicitně rovnicí \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\). Určete \(y'\) a \(y''\).
3. Určete \(\int \sqrt{\text{e}^x-1}\, \mathrm{d}x\). Výsledek ověřte derivováním.
4. \[\int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}x\]
5. \[\sum_1^{\infty} \frac{1}{k^4}\]
6. \[\lim_{x\to\infty} \frac{\ln (x)}{\text{e}^x}\]
7. Namalujte obrázek (\(x\in\langle -\pi, \pi\rangle\)), na kterém bude funkce \(\sin x\) a její Maclaurinovy polynomy \(T_n\) pro \(n=1,3,5\).